복리에 대한 이해가 부(富)를 이루는 첫 단계라 생각합니다. 노동으로 얻은 소득으로는 큰 부를 이루기가 여간 힘든 것임을 말해 뭐할까요. 세상의 거의 대부분 사람은 우리 돈에 관심이 없습니다. 즉, 내 돈이 어떻게 굴러가는지 내가 샅샅이 알아야겠죠! 계산을 한 번 직접 해보는 것은 큰 차이가 있을 것입니다. 계산을 하다 보면 행복한 상상을 하게 됩니다. 행복 회로를 돌리게 되죠. 투자의 대가인 짐 로저스의 저서 "돈의 미래"에서 이렇게 강조합니다.
"중요한 것은 오롯이 자신만의 지식과 경험을 쌓고 자신만의 눈으로 판단하는 것이다. 나는 지금도 주식시장의 역사를 다룬 책을 즐겨 읽는다. 과거에 무슨 일이 일어났는지 배우고 그것을 거울삼아 나만의 무기로 활용할 수 있기 때문이다. 스스로 무엇을 하고 있는지 모르면 반드시 실패한다. 기다려라. 그리고 철저히 준비하라"
기본부터 차근하게 꾸준하게 가보는 것은 어떨까요?
● 등비수열 그리고 합
정의역이 자연수이고 공역이 실수인 함수를 수열이라고 합니다.(쿨럭) 즉, $$ f : N → R , f(n)=a_{n} $$입니다.(아니 이걸 지금 왜?..) 그냥 숫자를 차례대로 나열한 것을 수열이라고 합니다. 등비(等比)는 같은 비율을 가진다는 말입니다. 즉, 이웃한 수들의 비율이 같다는 것이데 쉽게 이해하려면 계속 같은 숫자를 곱해한다고 생각하면 됩니다. 결국 처음 시작하는 숫자에 일정한 숫자를 곱해서 얻은 숫자를 차례대로 계속 나열한 수열을 등비수열이라고 합니다. 왜 이것을 지금? 복리는 등비수열이기 때문입니다. 수열이 시작하는 항을 첫째항\(a\) , 일정하게 곱해지는 수를 공비 \( r \) 라고 합니다. 이러한 등비수열을 첫 항부터 n번째 항까지 나열해보면 $$ a ~~~~~~ar~~~~~~ar^{2} ~~~~~~ar^{3} ~~~~~~ar^{4 } ~~~~~~...~~~~~~ar^{n-1} $$입니다. 처음부터 n번째까지 모두 합한 것을 \(S\)라 하면 $$ S=a+ar+ar^{2} +ar^{3}+...+ar^{n-2}+ar^{n-1} $$ $$~~~~~~ rS=~~~~~~~~~~ar+ar^{2} +ar^{3}+...+ar^{n-2}+ar^{n-1}+ar^{n} $$ 아래의 식은 위의 식에 r을 곱한 것입니다. 여기서 \(r \not= 1 , 0 \) 인 경우를 생각합니다. 1인 경우는 계속 같은 숫자이고 0을 곱하는 것은 계속 0입니다. 두 식을 변변 빼고 \(S\)로 묶고 \(r-1\) 로 나누면 드디어 구하는 등비수열의 합 \(S\)는 $$ S=\frac{ a(r^{n} - 1)}{r-1} $$입니다.
● 무이자, 단리, 복리 그리고 얼마?
앞에서 구한 등비수열의 합공식으로 복리로 돈을 모을 수 있다면 어떻게 되는지 알아보고자 합니다. 얼마나 차이가 나는지 보려면 이자가 없이 그냥 모으는 경우(무이자), 넣은 금액에 대해서만 이자를 붙여서 받는 경우(단리), 넣은 금액과 그것의 이자에 대해서 이자를 다시 붙여서 받는 경우(복리)에 대해서 각각 알아 보겠습니다. 시험을 보거나 하는 것이 아니니 편안한 게 보면 좋을 것 같습니다. 계산은 컴퓨터가 하는 것으로...ㅎㅎ
매월 1일에 100만원씩 1년을 모으는 것에 대해서 무이자, 단리, 복리를 계산해보고 그것이 얼마가 되는지 확인해볼까요? 먼저 이자가 없는 무이자입니다. 단위는 만원입니다.
| 회차 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 최종 |
| 이자 붙는 과정 무 이 자 |
100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 |
| 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | ||
| 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | |||
| 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | ||||
| 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | |||||
| 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | ||||||
| 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | |||||||
| 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | ||||||||
| 100 | 100 | 100 | 100 | 100 | |||||||||
| 100 | 100 | 100 | 100 | ||||||||||
| 100 | 100 | 100 | |||||||||||
| 100 | 100 | ||||||||||||
| 합계 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | 1200 | 1200 |
붉은색 숫자는 매월 1일에 넣은 돈이고 그 오른쪽으로는 그! 100만 원이 "어떻게 이자가 붙어가는가?"를 보인 것입니다. 오른쪽 아래 파란색 숫자가 최종적으로 얻는 돈입니다. 이자가 없으니 1천200만 원이 되네요.
다음은 단리입니다. 단리는 처음에 넣은 돈에 대해서만 일정한 비율(이율)를 주는 것입니다. 월 단리 1%라고 생각하고 위와 같이 100만 원씩 넣으면 어떻게 될까요?
| 회차 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 최종 |
| 이자 붙는 과정 단리 1% |
100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 |
| 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | ||
| 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | |||
| 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | ||||
| 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | |||||
| 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | ||||||
| 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | |||||||
| 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | ||||||||
| 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | |||||||||
| 100 | 101 | 102 | 103 | ||||||||||
| 100 | 101 | 102 | |||||||||||
| 100 | 101 | ||||||||||||
| 합계 | 100 | 201 | 303 | 406 | 510 | 615 | 721 | 828 | 936 | 1045 | 1155 | 1266 | 1278 |
월 이율이 1%인 단리(엄청난 상품이네요.)라고 생각하고 이자는 말일에 준다고 가정합니다. 밑줄이 쳐진 보라색 네 개의 숫자가 어떻게 구해졌는지 생각해보겠습니다. 4회 차에 100은 그 달 말일에 101이 됩니다. 5,6,7,8회를 거치면서 처음(4회 차)에 넣은 100에 대한 1%인 1을 계속해서 더한 것입니다. 100, 100+1, (100+1)+1, (100+1+1)+1, (100+1+1+1)+1으로 불어난 것이죠. 즉, 한 번의 적립금에 대한 12번의 이자를 합하면 $$ 100+100\times 0.01 + 100\times 0.01 +... + 100\times 0.01 = 100(1+\frac{12}{100}) = 112 $$입니다. 일반적으로 한 번의 적립금을 a, 단리 이율을 r, 이자를 받는 횟수(기간)를 n 그리고 적립금과 이자의 합을 S(n)이라고 하면$$ S(n) = a+ar+ar+...+ar=a(1+nr) $$입니다. 이것은 한 번의 적립금에 대한 것입니다. 12번의 적립을 했으니 그것에 대한 것도 모두 더하면 $$ S(12)+S(11)+S(10)+...+S(2)+S(1)=112+111+...+101=1278 $$
그렇게 해서 최종적으로 1천 278만원이 되네요. 78만 원의 차이가 생깁니다.
이제 1%의 복리(너무 너무 엄청난 상품이네요.)에 대해서 계산해봅니다. 복리는 원금에도 이자를, 이자에도 이자를 붙여주는 것입니다.
| 회차 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 복리 1% | 100 | 101 | 102.01 | 103.0301 | 104.0604 | 105.101 | |
| 회차 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 최종 |
| 복리 1% | 106.152 | 107.2135 | 108.2856 | 109.3685 | 110.4622 | 111.5668 | 112.6825 |
1회차에 넣은 금액에 대해서 위와 같이 이자가 붙습니다. 단리는 112만 원이지만 복리는 112만 6825원입니다.(소수점 아래 다섯째 자리에서 반올림을 했어요.) 2회 차에서 3회 차로 넘어가는 금액이 단리와 달라집니다. 복리는 이자가 붙은 것을 다시 원금으로 보고 이자를 붙이기 때문입니다. 즉, $$ 101\times0.01 $$가 됩니다. 한 번 더 볼까요? 3회 차에서 4회 차로 넘어갈 때는 $$ 101\times0.01 + 101\times0.01\times0.01=101(1+0.01)=100(1+0.01)(1+0.01)$$입니다. 그렇습니다! 한 번의 적립금에 대한 12번의 이자를 모두 합하면 $$ 100(1+0.01)^{12} $$입니다. 일반적으로 한 번의 적립금을 a, 복리 이율을 r, 이자를 받는 횟수(기간)를 n 그리고 적립금과 이자의 합을 S(n)이라고 하면 $$ S(n)=a(1+r)^{n} $$입니다. 12번의 적립금에 대해서는 어떻게 될까요? n에 1,2,3,...,12를 넣어서 계산한 것을 모두 더하면 됩니다. 각 적립금에 대한 최종 금액을 표로 정리해보면
| 넣은 회차, \(S(n) \) | 1, \(S(12) \) | 2, \(S(11) \) | 3, \(S(10) \) | 4, \(S(9) \) | 5, \(S(8) \) | 6, \(S(7) \) |
| 복리 1% 최종 금액 |
112.6825 | 111.5668 | 110.4622 | 109.3685 | 108.2856 | 107.2135 |
| 넣은 회차, \(S(n) \) | 7, \(S(6) \) | 8, \(S(5) \) | 9, \(S(4) \) | 10, \(S(3) \) | 11, \(S(2) \) | 12, \(S(1) \) |
| 복리 1% 최종 금액 |
106.152 | 105.101 | 104.0604 | 103.0301 | 102.01 | 101 |
| 12회차를 모두 적립한 것에 대한 총 금액 | 12,809,326원 | |||||
따라서 $$ S(1) + S(2) + S(3) + ... + S(12) = 100(1+0.01)^{1} + 100(1+0.01)^{2} +... + 100(1+0.01)^{12} = 12809326 $$입니다. (소수점 아래 넷째 자리에서 반올림을 해서 계산을 해서 약간의 오차가 있을 수 있습니다.) 그렇습니다. 첫째항이 \( 100(1+0.01) \)이고 공비가 \( 1+0.01=1.01 \)인 등비수열입니다. 앞에서 배운 공식에 넣으면 최종 금액(원리합계)을 알 수 있습니다. 복리가 단리보다 29,326원 더 많습니다. '뭐야! 3만원도 안 되는 돈의 차이!' 우리에겐 시간이라는 무기가 있습니다. 기간을 더 늘려서 무이자, 단리 1%, 복리 1%에 대해서 구해보면 다음과 같습니다.
| 기간 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 |
| 무이자 | 1200 | 2400 | 3600 | 4800 | 6000 | 7200 | 8400 |
| 단리 1% | 1278 | 2700 | 4266 | 5976 | 7830 | 9828 | 11970 |
| 복리 1% | 1280.9326 | 2724.3199 | 4350.7647 | 6183.4833 | 8248.6366 | 10575.703 | 13197.8997 |
처음에는 그 차이가 크지 않지만 기간이 길어질수록 차이가 커지는 것을 볼 수가 있습니다. 기간을 위보다 더 늘려서 계산을 하면 굉장히 기분이 흐뭇해집니다. 꼭 한 번 해보세요. 행복 회로가 작동되고 해낼 수 있다는 기분이 듭니다. 다만 손으로 직접 계산을 하신다면 그 회로가 멈출 수 있습니다. 주의해주세요! 여러 인터넷 사이트에서 복리를 계산하는 계산기를 쉽게 찾아서 계산을 해볼 수 있습니다. 그 계산이 어떻게 얻어지는지 알아보는 것은 내 돈에 대한 예의가 아닐까 생각합니다. 간략하게 정리를 해보는 것이 좋을 것 같습니다.
- 등비수열은 하나의 수에 일정한 숫자를 계속 곱하여 얻은 숫자의 나열이다.
- \(a\)로 시작하여 \(r\)을 곱하여 \(n\) 개의 숫자를 얻어 그것을 모두 더하면 등비수열의 합은 \( S=\frac { a( r^{n} - 1) } {r-1} \)이다.
- (tip) 월(년) 복리 이자 \(r%\)로 \(n\) 회를 넣는 계산은 공식을 외우는 것보다 각 회차를 넣은 것에 대한 결과들을 등비수열로 보고 그것들을 합하는 것이 좋다.
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