복리는 중복이 된다는 한자 복(複)과 이자의 리(利)로 이루어진 한자어입니다. 원금뿐만 아니라 이자에도 이자를 붙여서 주는 이자 셈법을 의미합니다. 이러한 복리에 대하여 정확히 이해를 하고 가슴에 새기는 것이 부(富)의 첫 단계라고 할 수 있습니다.
● 체스의 일화
고대 이집트, 그리스, 중국에서 생겼다는 이야기가 있습니다만은 고대 인도에서 '차투랑가'라고 하는 게임으로 유래가 되었다는 것이 유력합니다. 그 당시의 게임은 주사위 2개를 굴려 지정된 기물만 움직이이고 2명이 한 팀이 되어 겨루는 팀 경기였다고 합니다. 인도 북부를 점령한 페르시아인들에게도 사랑을 받은 게임이었는데 이슬람 율법에 도박이 엄격히 금지되고 특히 주사위를 사용한 게임을 금지시켰다고 합니다. 이에 한 페르시아인이 게임을 변형하여 2명이 주사위 없이 즐길 수 있는 게임을 만들었다고 합니다. 이것을 '샤트랑(Shatrangj)'이고 이 게임을 체스의 기원이라고 생각하는 사람도 많다고 합니다. 페르시아 왕은 샤트랑을 만든 사람에게 무엇을 상으로 무엇을 받기를 원하는지를 물었다고 합니다. 이에 샤트랑 개발자는 "체스 칸은 첫 번째 칸에 조 한 톨을, 그다음 칸에 조 두 톨을, 그다음 칸에 조 네 톨을, 이와 같이 다음 칸에는 그 전 칸의 개수에 두 배만큼을 채워 제게 주십시오."라고 했다고 합니다. 그러면 그 양은 얼마나 되는 것일까요? 그 결과는 다음과 같습니다.
$$ 2+2^{2}+2^{3}+...+2^{64}=2^{65}-1 =36493488147415103228 $$
즉, 2를 65번 곱한 다음 1을 빼면 됩니다. 학창시절에 배운 등비수열의 합공식을 이용하면 됩니다만 그것에 대한 포스팅은 다음으로 미루고 이것이 얼마나 큰 숫자인지 생각을 해볼까요? 이미 20자리 자연수라는 것에서 엄청나게 큰 숫자라는 것을 알 수가 있는데 너무 큰 수라서 와닿지가 않습니다. 우선 지구에서 달 표면까지의 거리는 38400km입니다. 이것을 mm로 환산을 하면 384000000000mm입니다. 12자리 자연수입니다. 이것보다 대략적으로 1억 배 큰 숫자입니다. 원 단위 즉, 돈으로 생각하면 얼마일까요? 무려 3649경 2488조 1474억 1510만 3228원입니다. 2022년 대한민국 예산은 607조입니다. 왕에게 상으로 얻은 숫자에 비하면 아주 귀여운 숫자입니다.
● 하노이의 탑
몇 개의 기둥와 크기가 모두 다른 원판으로 하는 퍼즐입니다. 수학자 에두아르드 뤼카(프랑스 Lucas, E. : 1842~1891)가 발표한 게임입니다. 가장 핵심적인 조건은 크기가 다른 원판을 다른 기둥으로 옮길 때, 크기가 작은 원판 위에 큰 원판이 놓이지 않도록 하는 것입니다. 기둥이 3개인 것이 기본적인 퍼즐입니다. 다만 같은 원판을 왔다 갔다 하는 의미 없는 이동을 하지 말아야겠죠? 즉, 모든 원판을 다른 기둥으로 옮기되 그 이동 횟수를 최소로 하는 것이 의미가 있겠습니다. 원판이 2,3,4,5개일 때 그 이동 횟수의 최솟값은 각각 3,7,15,31번입니다. 패턴을 보았을 때, $$ 2^n - 1 $$으로 생각할 수 있습니다.
이 퍼즐에 관한 한 전설이 있습니다. 인도의 한 사원에 기둥이 3개가 있고 64개의 황금 원판이 하나의 기둥에 크기가 작아지는 순서로 꽂혀 있었다고 합니다. 황금 원판은 한 번에 하나를 옮길 수 있으며 작은 원판 위에 큰 원판을 꽂을 수 없습니다. 이 규칙으로 64개의 황금 원판을 다른 기둥으로 모두 옮기면 세상의 종말이 온다는 전설입니다. 그러면 그 종말이 오려면 원판을 몇 번이나 옮겨야 할까요? 결론은 $$ 2^{64} - 1 $$ 입니다. 앞의 체스 일화의 반 정도가 됩니다. 그래도 어마어마하게 큰 숫자라는 것을 알 수 있습니다. 한 개의 원판을 옮기는데 1초가 걸린다고 생각했을 때, 약 2922억 7천만 년이 걸립니다. 우주의 나이가 약 133억 년보다 훨씬 긴 시간입니다.
조 한 톨과 같은 적은 것으로 시작하여 반복되는 증가를 통해서 어마어마하게 큰 결과를 얻을 수 있다는 것.
한 개의 원판을 추가하는 것으로 무수히 많은 원판 이동을 더 해야한다는 것.
작은 것으로 큰 것을 이뤄야하는 평범한 사람들에게는 큰 무기입니다. 가슴에 오늘도 새겨봅니다.
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